Suma lógica o unión (Puerta OR).

Esta función lógica, que se representa como S = A+B = A or B, siendo a y b las variables de entrada, toma valor 1 cuando una de las variables o ambas tienen valor 1.

A B S = A + B 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1

La demostración es que en el caso de:

a) la corriente pasará cuando haya uno de los circuitos cerrados.
b) corresponde a la representación de la puerta OR según la norma DIN.
c) según la norma ASA. Las puertas Lógicas OR se fabrican de dos, tres y cuatro entradas.

Códigos de los fabricantes de Circuitos Integrados para la compuerta OR: 7432.

Producto lógico o función intersección (Puerta AND).

Aplicada a dos variables, a y b, se representa como S = A·B = A and B. A esta función le corresponde las siguientes tabla e imagen:

A B S = A·B 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1

Función Igualdad.

En esta función lógica sólo interviene una variable. La función que representa es S = A con una tabla de verdad:

Complementación o función negación (Puerta NOT o Inversora).

También conocida como puerta NO. Se aplica a una sola variable de entrada, leyéndose como a negada. Con una representación S== not(A), a la que le corresponde una tabla de verdad. En algunos casos la inversión no se especifica , sino A'.

A S = 0 0 1 1 1 0

Donde:
a) es el circuito al que corresponde.
b) el dibujo según la norma DIN.
c) el dibujo según la norma ASA.

Operadores básicos y no básicos booleanos.

Además de los operadores básicos booleanos: AND (·), OR (+) y NOT, existen también la NAND (), NOR () y XOR (AB) y se comportan:

A	B	A+B					AB
0	0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	0	1	0	1	1
1	0	1	0	0	0	1	1
1	1	1	1	0	0	0	0

Donde A B = ·B + A· y su símbolo gráfico es .

Obtener la tabla de verdad de cualquier expresión booleana.

Simplemente habrá que sustituir las variables por las combinaciones de 0 y 1 y operar según la anterior tabla. El proceso es lento pero infalible. No merece la pena correr.

Por ejemplo, para obtener la tabla de verdad de habría que plantear una tabla con 8 filas, de 000 a 111. Para cada una de las filas habría que proceder como para 000:

Lo rápido que cada uno quiera ir es una cuestión libre, pero sólo habrá un resultado correcto, un solo resultado lógico.

Obtener la tabla de verdad de un circuito lógico.

La operación es tan lenta como sencilla: asignar a las variables los 0 y 1 de una fila de la tabla de verdad, y seguir el efecto de estos bits a través de las puertas hasta llegar a la salida.

Por ejemplo, la siguiente figura muestra la obtención de la salida del circuito para la entrada 000:

S_i(000) = 0 y C_i(000) = 0

Visto cómo obtener una fila de la tabla, las demás son tan fáciles como lentas de obtener.

Teoremas y postulados del álgebra de Boole

La tabla siguiente resume las propiedades y los teoremas más significativos del álgebra booleana.

Principio de Dualidad (Metateorema)

Si un teorema es cierto también lo es su dual.

El dual se obtiene cambiando + por ·, · por +, 0 por 1 y 1 por 0. En la Tabla anterior todo Teorema tiene su dual (derecha a izquierda, y viceversa). El auténtico Principio de dualidad dice que además hay que negar las variables, pero no es necesario en su aplicación básica.

Demostración de un teorema booleano por inducción perfecta

Al menos tenemos dos caminos para demostrar un teorema: el clásico método algebraico y el particular de la inducción perfecta, muy útil en álgebra de Boole.

Este último camino dice que si se comprueba la veracidad de un teorema para todas las posibles combinaciones de entrada, entonces el teorema lo es en conjunto. O sea, que si se cumple para cada caso, se cumple en general. Este camino se puede usar en álgebra de Boole porque las variables tienen sólo dos valores posibles: 0 y 1, mientras que en nuestra álgebra no, porque cada variable puede tomar infinitos valores.

Por ejemplo, demostrar la propiedad distributiva de la suma respecto del producto (que no se cumple en el álgebra común). X+(Y·Z) = (X+Y)·(X+Z)

En la tabla se ve que para todos los posibles valores de X, Y y Z, las expresiones X+(Y·Z) y (X+Y)·(X+Z) son idénticas, y así pues, y por inducción perfecta, ambas expresiones son equivalentes. El mecanismo de demostración por inducción perfecta es muy útil en álgebra de Boole.

Negar una expresión booleana

Para negar una expresión booleana cualquiera basta con aplicar el teorema de Demorgan recursivamente:

(1) La negación de una suma es el producto de las variables negadas.

(2) La negación de un producto es la suma de las variables negadas.

Obtención de la función lógica a partir de la tabla de verdad: Teorema de Shannon

Los lógicos combinacionales se resuelven partiendo de la tabla de verdad al establecer esta todas las combinaciones posibles de entrada y salida. Tomando la tabla de verdad, podemos establecer una función lógica de dos formas posibles:

(1) Primera forma canónica o forma canónica disyuntiva (suma de productos o minterms).

(2) Segunda forma canónica o forma canónica conjuntiva (producto de sumas o maxterms).

En la primera forma canónica, SoP (Sum of Products) se obtiene sumando todos los minitérminos que dan salida 1. En un minitérmino se asigna 0 la variable inversa y se asigna 1 la variable directa (Teorema de Shannon).

La segunda forma canónica, PoS (Products of Sums), se obtiene de forma dual a la anterior: multiplicando los maxitérminos cuya columna resultado sea 0. El maxitérmino es el dual del minitérmino.

Mirando el siguiente ejemplo:

Ejercicios De la Sesión

Los ejercicios estan en este PDF: [Ejercicios Sesión 2 ]